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By Wolfgang Watzlawek

ISBN-10: 3486579274

ISBN-13: 9783486579277

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Da nat¨ urlich auch an ≤ sup A f¨ ur alle n gelten muss, ist sup A ∈ [an , bn ] / [an , bn ] f¨ ur alle n ∈ N gilt, muss f¨ ur alle n ∈ N. Da aber nach Konstruktion xn ∈ sup A = xn f¨ ur alle n ∈ N sein. 2 R \ Q ist u ahlbar. ¨ berabz¨ Beweis: Es ist R = Q ∪ (R \ Q). 11. Entsprechend k¨onnte man auch schließen, wenn R \ Q endlich w¨are. Denn die disjunkte Vereinigung einer endlichen Menge A und einer abz¨ ahlbar unendlichen Menge B ist immer abz¨ahlbar unendlich. amlich f : A → {n ∈ N : n ≤ k} und g : B → N bijektive Abbildungen, so erh¨alt Sind n¨ man eine bijektive Abbildung h : A ∪ B → N, wenn man h(x) := f (x) f¨ ur x ∈ A, h(x) := g(x) + k f¨ ur x ∈ B definiert.

1 Seien (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen in K, seien a := limn→∞ an und b := limn→∞ bn , sei α ∈ K. Dann sind auch die Folgen (αan )n∈N , (an + bn )n∈N und (an bn )n∈N konvergent und es gilt lim (αan ) = αa, n→∞ lim (an + bn ) = a + b, n→∞ lim (an bn ) = ab. n→∞ ur alle n ≥ m, und definiert man die Folge Ist b = 0, so gibt es ein m ∈ N mit bn = 0 f¨ (cn )n∈N durch cn := 1/bn+m f¨ ur n ∈ N, so ist auch die Folge (cn )n∈N konvergent und es gilt limn→∞ cn = 1/b. 1. Ist α = 0, so ist die Folge (αan ) die konstante Folge, deren Glieder alle gleich Null sind, und diese ist trivialerweise gegen Null konvergent, damit gilt lim(αan ) = 0 = αa.

Denkt man an die Einf¨ uhrung von Abbildungen als spezielle Relationen, so ist letztlich eine Folge identisch mit der Menge von Paaren {(n, f (n)) : n ∈ N} ⊂ N × X. Man hat nat¨ urlich die gleiche Information, wenn man bei einer Folge nicht die Paare, sondern jeweils nur die zweiten Komponenten f (n) angibt. Dementsprechend verwendet man die Notation (f (n))n∈N f¨ ur eine Folge. h. man schreibt (xn )n∈N , wobei dann xn = f (n) gilt. Die Elemente xn bezeichnet man dann auch als Folgenglieder. Man beachte, dass die Abbildung f keineswegs injektiv sein muss, ja es kann sogar f (n) = f (1) f¨ ur alle n gelten; in diesem Fall spricht man von einer konstanten Folge.

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Lehrbuch Analysis by Wolfgang Watzlawek


by Jeff
4.2

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