Download e-book for kindle: Die Konfluente Hypergeometrische Funktion: Mit Besonderer by Herbert Buchholz

By Herbert Buchholz

ISBN-10: 3642533310

ISBN-13: 9783642533310

ISBN-10: 364253371X

ISBN-13: 9783642533716

Das vorliegende Buch behandelt die unter dem Namen der konflu­ enten hypergeometrischen Funktion bekannte höhere transzendente Funktion, der in den physikalischen und technischen Anwendungen der Mathematik eine besonders in den letzten beiden Jahrzehnten ständig steigende Bedeutung zukommt. Es steht außer Zweifel, daß sich diese Tendenz in der Zukunft noch wesentlich verstärken wird, und so wie zunächst die Zylinderfunktionen nur von einigen Wenigen zuverlässig gehandhabt werden konnten, bis sie heute selbst schon dem rechnenden Ingenieur vertraut geworden sind, so wird auch die Theorie der all­ gemeineren konfluenten hypergeometrischen Funktion sehr bald einem immer größeren Kreis von Physikern geläufig sein. In diese Entwick­ lung soll das vorliegende Buch fördernd eingreifen. Die große praktische Bedeutung der hier behandelten Funktion bedarf schon deswegen kaum einer eingehenden Begründung, weil sie einmal eine große Zahl einfacherer spezieller Funktionen, die schon seit langem zum täglichen Werkzeug des Physikers gehören, als Sonderfälle umfaßt. Es genügt, an dieser Stelle zu erwähnen, daß dazu u. a. der Integrallogarithmus, der Integralsinus und -cosinus, das Fehlerintegral, die Fresnelschen Integrale, die Zylinderfunktionen und endlich die Funktionen des parabolischen Zylinders gehören. Es hat additionally derjenige, der sich die Mühe macht, die konfluente hypergeometrische Funktion eingehender zu studieren, den nicht hoch genug einzuschätzenden Vorteil, daß ihm die Theorie dieser Funktion die Eigenschaften der aus ihr ableit­ baren Funktionen sozusagen von einer höheren Warte aus zu über­ blicken gestattet.

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§ 1. VORSTELLUNG DES ZAHLENGEBIETES Wir konnen jede ganze Zahl bildlich oder geometrisch darstellen. Nehmen wir zum Beispiel eine Linie von beliebiger Lange an, und auf derselben einen Punkt o. So konnen wir die Zahl eins so darstellen, indem wir eine beliebige konstante Lange auf dieser vom Nullpunkt aus nach rechts auftragen.

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2 (z) bei speziellen Werten der beiden Parameter auf einfachere Funktionen reduziert. /2 (z) in Betracht gezogenen Werte von u und p. Wird demgemäß zunächst u = Gleichungen ± (1 + p)/2 1+,.. +1 ,.. +1,.. (z) 1-,.. 1+,.. /2 (z). Für u W W =n 1+,.. + (p + 1)/2 ,.. n+ -2-' ± "2 (z) = 1-,.. ,.. (z) n+ 2'±"2 wird nach GI. (18a) (-t· r(l + p + n) . ,.. (z) n+ 1+,.. n! :') (z) = (-t . r(1- p 1-,.. + n) -2-' 2 (n = 0, 1, 2, ... ) . Jt 1-,.. ,.. (z) n+2 -'-"2 = (_)n . n! Z-2-e-z/2. L~-"') (z), (28a) (28b) (n = 0,1, 2, ...

Whi t t ak er [1, 2J die Funktionen W". /2 (z . e±ni) ein mit den für jedes z, " und f,l gültigen Definitionsgleichungen. :~,:)ml In ihnen gehören wie hier immer in solchen Fällen nur die gleichangeordneten Vorzeichen zusammen. In Rücksicht auf (5a, b) läßt sich 19 § 2, Die Whittakersche Differentialgleichung, die Definition der Funktion W -". /l/2 (z ' e± "i) auch I In der Form W -". -/l/2 (z) (18b') schreiben. /lIZ(z) hinsichtlich fl eine gerade Funktion ist. J{". /l/2 (z . (><_l-/l) .. /l/2(Z) .

34c) Die Aussage der GI. (34a, b) steht in Übereinstimmung mit den Formeln (30a, b), denn hiernach sind für nicht negativ ganzzahlige Werte von n die Funktionen D 2n (z) und E;~ (z) einerseits und die Funktionen D 2n +1 (z) und E~~+l (z) im wesentlichen die gleichen. 5. (z) und E;O,l) (z). Jt'" 1'12 (z) bekannten Integraldarstellungen hier zunächst die von (§ 2, 13b) heran und verwenden sie in den GI. (27a, b), so zeigt sich die Besonderheit, daß in diesen Integralen an die Stelle der Besselschen Funktionen die Funktionen sin und cos treten.

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Die Konfluente Hypergeometrische Funktion: Mit Besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung by Herbert Buchholz


by William
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