Die Hamilton-Jacobische Theorie fuer Doppelintegrale - download pdf or read online

By Prange G.

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Die Linearisierung x) + ∇f (¯ x) · (x − x ¯) x3 = f (¯ ∂f ∂f (¯ x)(x1 − x ¯1 ) + (¯ x)(x2 − x ¯2 ) = f (¯ x) + ∂x1 ∂x2 ¯2 ) entspricht der Tangentialebene in x = x¯, vgl. Abb. 6. 14. h. f (t) = (f1 (t), . . , fm (t)) mit t ∈ R. Die Linearisierung t → fˆ(t) = f (t¯)+f (t¯)(t− t¯) in t¯ entspricht einer Geraden in Rm durch den Punkt f (t¯) und die JacobiMatrix f (t¯) = (f1 (t¯), . . , fm (t¯)) entspricht der Richtung der Tangente der Kurve f : R → Rm in f (t¯), vgl. Abb. 7. 7 Die Kettenregel 827 x2 s (t) s(b) s(t) a t b t s(a) x1 Abb.

N} oder die Einheits-n-Scheibe {x ∈ Rn : x ≤ 1} sein. Um zu u ufen, ob eine Funktion f : A → Rm auf einer Untermenge ¨berpr¨ n A von R Lipschitz-stetig ist, gen¨ ugt es, zu u ufen, ob die Komponen¨berpr¨ tenfunktionen fi : A → R Lipschitz-stetig sind. Dies kommt daher, weil aus |fi (x) − fi (y)| ≤ Li x − y f¨ ur i = 1, . . , m, folgt, dass m f (x) − f (y) 2 m |fi (x) − fi (y)|2 ≤ = i=1 L2i x − y 2 , i=1 woraus wir sehen, dass f (x) − f (y) ≤ L x − y mit L = ( 1 i L2i ) 2 . 7. Die durch f (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 x2 ) definierte Funktion f : [0, 1] × [0, 1] → R2 ist Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten L = 2.

5 Lipschitz-Stetigkeit Wir sagen, dass f : Rn → Rm auf Rn Lipschitz-stetig ist, falls es eine Konstante L gibt, so dass f (x) − f (y) ≤ L x − y f¨ ur alle x, y ∈ Rn . 1) Diese Definition l¨ asst sich einfach auf Funktionen f : A → Rm erweitern, wobei das Gebiet D(f ) = A eine Untermenge des Rn ist. Beispielsweise kann A der Einheits-n-W¨ urfel [0, 1]n = {x ∈ Rn : 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, . . , n} oder die Einheits-n-Scheibe {x ∈ Rn : x ≤ 1} sein. Um zu u ufen, ob eine Funktion f : A → Rm auf einer Untermenge ¨berpr¨ n A von R Lipschitz-stetig ist, gen¨ ugt es, zu u ufen, ob die Komponen¨berpr¨ tenfunktionen fi : A → R Lipschitz-stetig sind.

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